第二章数列
知识点一:等差数列
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.（1）定义法:an + 1 - an = d（常数）（n6）（an）是等差数列；（2）中项公式法:2an + 1 = an + an + 2（nCN*）台{an}是等差数列；（3）通项公式法:an = kn + b（k，b是常数，且n6.）（can）是等差数列；（4）前n项和公式法:`S _________ n` = An2 + Bn（A，B是常数，且n\@\@\@{an}是等差数列.（1）已知等差数列{an}的首项是a，公差是d，则等差数列的通项公式为an = a1 + （n - 1）d.（2）已知等差数列{an}的某一项是am（m < n），公差是d，则等差数列的通项公式为an = am + （n - m）d.①（an）为等差数列\@an为n的一次函数或an为常数\@an = kn + b（n N + ）②在等差数列（an）中，an = kn + b是关于n的一次函数（或常数函数），且一次项系数k为公差d；③当k = d > 0时，{an}为递增数列；当k = d < 0时，{an}为递减S侧 = = n`a _________ 1` + d（其中n）n2，`a _________ 1`为首项，d为n（a1 + an）n（n - 1）在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项，事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项.若a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，即A = 或2A = a + b.（1）等差中项:若a，G，b成等差数列，则G = ；（2）若m + n = p + q（m，n，p，q，），则am + an = ap + aq；（3）若m + n = 2p，则am + an = 2ap；（4）在等差数列{an}中，若ap = 0，则`S _________ m` = `S _________ （（2p+m））`成立；（5）若数列{an}是等差数列，`S _________ n`是其前n项的和，则`S _________ （k _________ ` - `S _________ k`，`S _________ （3k）` - `S _________ （2k）`成等差数列，其公差为n2d（k\@N*）；（6）若{an}是等差数列，公差为d，则{a _________ n}也是等差数列，公差为2d.（7）若{an}，{bn}是等差数列，则{pan + qbn}也是等差数列；（8）若{an}，{bn}是等差数列，则{yan + bn}，{`y _________ 1`an + `y _________ 2``b _________ n`）都为等差数列；（9）若{an}是等差数列，每隔k（k6）项取出一项（am，am + k，am + 2k，am + 3k…）仍为等差数列；（10）若等差数列（a，），（bm）的前n项和为Am，Bm，则 = |①d = an - an - 1；②d = ；③d = .在等差数列{an}中，a1 > 0，d < 0，则`S _________ n`存在最大值；若`a _________ 1` < 0，d > 0，则`S _________ n`存在最小值.（1）运用配方法转化为二次函数，借助二次函数的单调性以及数形结合的思想，从而使问题得解.（2）通项公式法:求使an≥0（an≤0）成立时最大的n值.一般地，在等差数列{an}中，若a1 > 0，且`S _________ p` = `S _________ （`）（p≠q），则有以下结论.①若p + q为偶数，则当n = 时，`S _________ n`最大；②若p + q为奇数，则当n = 或n = 时，`S _________ n`最大.p + q + 1（3）邻项变号法:①a1 > 0，d < 0时，满是“的项数m使得s.取得最大值为S.；②当a1 < 0，d > 0时，满是（\sqrta + a）/（a - 2）°0），的项数m使得`S _________ n`取得最小值为`S _________ （m·）`.设数列{`a _________ n`}是等差数列，`S _________ 奋`是奇数项的和，`S _________ 侧`是偶数项的和，`S _________ n`是前n项的和，则有如下性质.（1）`S _________ n` = `S _________ 奇` + `S _________ 侧`；（2）当n为偶数时，`S _________ 侧` - `S _________ 奇` = d，其中d为公差；（3）当n为奇数时，S《 - S侧 = a中，S侧 = ，`S _________ 侧` = a中， = ，`（S _________ （sqrt（s _________ ） _________ （s _________ ）` = = n（其a甲是等差数列的中间一项）.若等差数列{an}的前2n - 1项的和为`S _________ （2n-1）`，等差数列{bn}的前2n - 1项的和为`S _________ （n-1）`，则 = .（1）在等差数列{an}中，a与d是最基本的两个量，一般可设出a1和d，利用等差数列的通项公式和前n项和公式列方程（组）求解即可.（2）与等差数列有关的基本运算问题，主要围绕着通项公式an = a1 + （n - 1）d和前n项和公式`S _________ n` = = na1 + n（a1 + an）d，在两个公式中共涉及五个量:a1，d，n，an，`S _________ n`，已知2其中三个量，选用恰当的公式，利用方程（组）可求出剩余的两个量.
知识点二:等比数列
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q（q≠0）表示.数学语言表达式: = q（n≥2，q为非零常数）或 = q（n）`a _________ n-1`N*，q为非零常数）.（1）定义法:若 = q（q为非零常数，n≤N·）或 = q（q为非零常数且n≥2，n\@N*），则{{an}是等比数列.（2）等比中项公式法:在数列（an）中，an≠0且`a _________ （n+1）` = an·an + 2（nEN*），则数列{an}是等比数列.（3）通项公式法:若数列通项公式可写成an = c·qn（c，q均是不为0的常数，n N*'），则{an}是等比数列.（4）前n项和公式法；若数列{an}的前n项和`S _________ n` = k·qn - k（k为常数且k≠0，q≠0，1），则{an}是等比数列.（1）已知等比数列{an}的首项是a，公比是q，则等比数列的通项公式为an = a1q^n - 1；（2）已知等比数列的某一项是am（m < n），公比是q，则等差数列的通项公式为an = amqn - m.3.等比数列前n项和公式当q = 1时，`S _________ n` = n`a _________ 1`；当q≠1时，`S _________ n` = = .`a _________ 1`（1 - qn）1 - q（1）如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项（G2 = ab）；（2）若m + n = p + q = 2k（m，n，p，q，k≤N*），则am·an = ap··（3）等比数列（an）的通项公式an = a1q（n-1） = qm2 = AB″（A·B≠0）是关于n的带有系数的类指数函数，底数为公比q；（4）若{an}为等比数列，则数列`a _________ 1`·`a _________ 2`…`a _________ n`，`a _________ n` + 1`·`a _________ n + 2`…`a _________ 2n`，a2n + 1.a2n + 2…a3n，成等比数列；（3）若数列（a，），（b，）是等比数列（项数相同），则（`a _________ n`），`（`1/a^2`），（`a^2`），（an·bm），（`（a^2）/n`）（入≠0）仍然是等比数列；（4）在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an + k，an + 2k，an + 3k，…为等比数列，且公比为qk；（5）已知公比不为 - 1的等比数列{an}的前n项和为`S _________ n`，则`S _________ n`，`S _________ （2n）` - `S _________ （n）`，`S _________ （3n）` - `S _________ （2n）`仍成等比数列，其公比为qn；（6）当或时，等比数列{an}是递增数列；当0 < q < 1q > 125`a _________ 1` > 0，或0 < q < 1q > 1（7）当q = 1时，等比数列{an}是常数列；当q < 0时，等比数列{an}（8）若{a，}是公比为q的等比数列，则`S _________ （n+m）` = `S _________ n` + qn·`S _________ （m；）`；（9）在等比数列（a，）中，当项数为2n（n）时， = .（分子标注奇，分母标注偶）
知识点三:数列的综合与应用
（1）an + 2 = pan + 1 + qan（p，q为二阶常数）用特征根方法求解，具体步骤如下:①写出特征方程x2 = px + q（x2对应`a _________ （n+2）`，x对应`a _________ （n+1）`），并设二根`x _________ 1`，`x _________ 2`；②若`x _________ 1`≠`x _________ 2`，可设an = `c _________ 1``x _________ 1` + `c _________ 2`xn2；若`x _________ 1` = `x _________ 2`可设`a _________ n` = （`c _________ 1` + `c _________ 2`n）`x _________ 1`；③由初始值`a _________ 1`，`a _________ 2`确定`c _________ n`，`c _________ 2`.（2）an = pan - 1 + r（P，r为常数）①转化等差、等比数列；②逐项选代；③消去常数n转化为an + 2 = pan + 1 + qan的形式，再用特征根方法求an；④an = `c _________ 1` + `c _________ 2`p（n-1）（公式法），`c _________ 1`，`c _________ 2`由`a _________ 1`，`a _________ 2`确定.具体如下:①转化等差、等比:an + 1 + x = p（an + x）→x = .②选代法:an = pan - 1 + r = p（pan - 2 + r） + r = …\@an =（a1 + ）p（ch-1） - = （a1 + x））p^（m - 1） - x = p（n-1a1+）pn - 2·r + … + pr + r.③用特征方程求解:联立方程 = ，则两式相减可an + 1 = pan + r，③用特征方程求解:联立方程则两式相减可an = pan - 1 + r，得an + 1 - an = pan - pan - 1→an + 1 = （p + 1）an - pan - 1·④由选代法推导结果:`c _________ 1` = ，`c _________ 2` = `a _________ 1` + ，`a _________ n` = C _________ （2p2） + + `c _________ 1` = （`a _________ 1` + ）b（n+1） + .（1）等差数列的前n项和为`S _________ n`，在d < 0时，有最大值.如何确定使`S _________ n`取最大值时的n值，有两种方法:一是求使an≥0，an + 1 < 0，成立的n值；二是由`S _________ n` = n2 + （`a _________ 1` - ）n利用二次函数的性质求n的值.（2）如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前项和可依照等比数列前n项和的推导方法:错位相减求和.例如:1 × ，3 × ，…（2n - 1），…（3）两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差`d _________ 1`，`d _________ 2`的最小公倍数.（1）公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列.（2）裂项相消法:适用于（），其中（a，）是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等.（3）错位相减法:适用于{anbn}其中{an}是等差数列，{bn}是各项不为0的等比数列.（4）倒序相加法:类似于等差数列前n项和公式的推导方法.已知数列若干项，求该数列的通项公式时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项公式. 已知数列的前n项和`S _________ n`与an的关系，求数列{`a _________ n`}的通项公式注:用此公式时，要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即`a _________ 1`和`a _________ n`合为一个表达式（要先分n = 1和n≥2两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）.形如an + 1 = an + f（n）型的递推数列，其中f（n）是关于n的函分别相加，可得`a _________ n` = f（n - 1） + f（n - 2） + …f（2） + f（1） +①若f（n）是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；②若f（n）是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；③若f（n）是关于n的二次函数，累加后可分组求和；④若f（n）是关于n的分式函数，累加后可裂项求和；（4）累乘法形如an + 1 = anf（n）型的递推数列，其中f（n）是关于n的函数，可 an = f（n - 1）·f（n - 2）·…·f（2）·f（1）·a1（n≥2）.有时不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解.形如an + 1 = pan + q（其中p，q均为常数且p≠0）型的递推式.①若p = 1时，数列{an}为等差数列；②若q = 0时，数列{an}为等比数列；③若p≠1且q≠0时，数列{an}为线性递推数列，其通项公式可通过待定系数法构造等比数列来求.形如an - 1 - an = pan - 1an（p为常数且p≠0）的递推式，两边同除以an - 1an，转化为 = + P形式，化归为a（m + 1） = pan + q型，求出的表达式，再求an.形如an + 1 = 的递推式，也可采用取倒数方法转化成manan + 1 = + 形式，化归为an + 1 = pa， + q型，求出的表达式，再求an.①若数列{an}为等差数列，数列{bn}为等比数列，则数列{an`b _________ n`}的求和就要采用此法；②将数列{`a _________ n`·`b _________ n`}的每一项分别乘以{bn}的公比，然后再错位相减，进而可得到数列{an·b，}的前n项和.一般地，当数列的通项公式为an = `（an+b1）（an+b _________ ）`（a，b _________ 2）`，b _________ 2C为常数）时，往往可将变成an两项的差，采用裂项相消法求和.注:设an = - ，通分整理后与原式相比较，根据对应项系数相等得y = ，从而可得（an + b _________ ）=② = （ - ；③ = （da - `（db）`）.有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列.若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.一般分两步:①找通项公式；②由通项公式确定如何分组.如果一个数列{an}与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用正着写与倒着写的两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这种求和方法称为倒序相加法.特征:a1 + an = a2 + an - 1 = …②1 + 3 + 5 + … + （2n - 1） = n2；③12 + 22 + 32 + … + n2 = n（n + 1）（2n + 1）；④ = - ； = （ - ）；；⑤ = （）（ - ），其中p < q.形如\an·bn}的数列求和，其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列，记{an·bn}的前n项和为`S _________ n`.∵`a _________ n`·`b _________ n` = n·2n，∴`S _________ n` = 1 × 2 + 2 × 22 + 3 × 23 + … + （n - 1）·2（n-1） + n·2n①，`2S _________ n` = 1 × 22 + 2 × 23 + … + （n - 1）·2n + n·2（n+1）②，∴由① - ②得 - `S _________ n` = 1 × 2 + 1 × 22 + 1 × 23 + … + 1 × 2“ - n·2（m+1） = 2 + - n·2（m+1） = （1 - n）·2 + 1 - 1 - 2，∴`S _________ n` = 2 - （1 - n）·2（n+1）.河北高招网：专注教育行业，高考信息服务、高校信息介绍、高招政策、高考分数分析、专业介绍、高职单招招生考试信息，升学资讯，就业指导等
