第一章平面几何

知识点一:直线

1.直线的倾斜角（α）

x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角

（0≤α < 180°）.

注:（1）当直线的倾斜角不是90°时，则称其正切值为该直线的斜率，即k = tanα；

（2）当直线的倾斜角等于90°时，直线的斜率不存在.

2.直线的斜率

设P1（x1，`y _________ 1`），`P _________ 2`（`x _________ 2`，`y _________ 2`），且`x _________ 1`≠`x _________ 2`则k = tam = （a≠90）.`y _________ 2` - `y _________ 1`

`x _________ 2` - `x _________ 1`

3.直线方程的五种形式

（1）直线方程的常见解法

①已知直线纵截距b，常设其方程为y = kx + b或x = 0.

②已知直线横截距x0，常设其方程为x = my + x0（当直线斜率k存在时，m为k的倒数）或y = 0.

③已知直线过点（x0，y0），常设其方程为y = k（x - x） + yo或

x = x0.

（2）直线与坐标轴间的关系

直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.

①直线在两坐标轴上的截距相等\@直线的斜率为 - 1或直线过原点.

②直线两截距互为相反数\@直线的斜率为1或直线过原点.

③直线两截距绝对值相等（一直线的斜率为±1或直线过原点.

4.两条直线的平行与垂直

（1）已知直线`l _________ 1`:y = `k _________ 1`x + `b _________ 1`，`l _________ 2`:y = `k _________ 2`x + `b _________ 2`.

①`l _________ 1`∥`l _________ 2``k _________ 1` = `k _________ 2`，`b _________ 1`≠`b _________ 2`；发点!

②`l _________ 1`⊥`l _________ 2``k _________ 1``k _________ 2` =- 1.

（2）已知直线`l _________ 1`:`A _________ 1`x + `B _________ 1`y + `C _________ 1` = 0，`l _________ 2`:`A _________ 2`x + `B _________ 2`y + `C _________ 2` = 0.

①`l _________ 1`∥`l _________ 2``A _________ 1``B _________ 2` = `A _________ 2``B _________ 1`且`A _________ 1``C _________ 2`≠.`A _________ 2``C _________ 1`；②`l _________ 1`⊥`l _________ 2`\@`A _________ 1``A _________ 2` + `B _________ 1``B _________ 2` = 0.

5.两直线的交点

若两直线相交，则联立方程，可求出两直线的交点坐标.

6.直线恒过定点

已知直线y - yo = k（x - x），则直线恒过定点（x0，y0）.

7.常见公式

（1）中点坐标公式

已知两点A（`x _________ 1`，`y _________ 1`），B（`x _________ 2`，`y _________ 2`），则线段AB的中点坐标为`x _________ 1` + `x _________ 2``y _________ 1` + `y _________ 2`2

（2）平面两点距离公式

①已知两点P（`x _________ 1`，`y _________ 1`），`P _________ 2`（`x _________ 2`，`y _________ 2`），则`P _________ 1``P _________ 2` = \sqrt（`（x _________ 1）` - `x _________ 2`）² + `（y _________ 1-`y _________ 2）²；

x = ，

②已知线段`P _________ 1``P _________ 2`的中点坐标为M（`x _________ 0`，`y _________ 0`），则

`y _________ 0` = .`y _________ 1` + `y _________ 2`

（3）点到直线的距离公式

点Px，yo）到直线l:Ax + By + C = 0的距离d = .Ax0 + By0 + C|

A² + B²

（4）两平行线间的距公式

已知直线`l _________ 1`:Ax + By + `C _________ 1` = 0与`l _________ 2`:Ax + By + `C _________ 2` = 0平行，则两平行线间的距离d = .

A² + B

6.点关于点或直线对称

（1）点P（x，y）关于点M（a，b）的对称点坐标为（2a - x，2b - y）；（2）点P（x，y）关于x = a的对称点坐标为（2a - x，y）；（3）点P（x，y）关于y = b的对称点坐标为（x，2b - y）；

（4）点P（x，y）关于y = x + b的对称点坐标为（y - b，x + b）；（5）点P（x，y）关于y = x - b的对称点坐标为（y + b，x - b）；

（6）点P（x，y）关于直线l:Ax + By + C = 0的对称点坐标为P′（a，b），

a，b的值.

1.圆的标准方程和一般方程

（1）已知圆C的标准方程为（x - a）^2`+`（y - b）^2`=`r^2`（r>0），则圆心坐标为C（a，b），半径为r（当a=b=0时，圆心在原点的圆的方程为`x^2`+`y^2`=`r^2`）

（2）已知圆的一般方程为x² + y² + Dx + Ey + F = 0，则圆心坐标为（ - ， - ），半径r = `\sqrt（`D^2 + ，其中D² + E² - 4F > 0.

2.点和圆的位置关系

3.直线和圆的位置关系

4.圆与圆的位置关系

7.特殊圆的方程

（1）与x轴相切的圆方程（x-a）² + （y±b）² = b²r = b|，圆心（a，b）或（a， - b）

（2）与y轴相切的圆方程（x±a）² + （y-b）² = a²r = |a|，圆心（a，b）或（ - a，b）

（3）与x轴y轴都相切的圆方程（x±a）² + （y±a）² = a²r = |a|，圆心（±a，±a）

8.圆的切线方程

（1）圆x² + y² = r²的斜率为的切线方程是y = kx±\sqrt（1 + k²）r.

（2）过圆x² + y² + Dx + Ey + F = 0上一点P（x0，y0）的切线方程为x0x + yoy + D· + E· + F = 0.

①若点M（`x _________ 0`，`y _________ 0`）在圆上（圆的标准方程），则过点M的切线方程为（x - a）（`x _________ 0` - a） + （y - b）（`y _________ 0` - b） = r².特别地，过圆x² + y² = r²上一点P（x0，y0）的切线方程为xox + yoy = r².

②若点M（x0，yo）不在圆上，圆心为（a，b），半径为r，则联立方

知识点三:椭圆

1.椭圆的定义

平面内一个动点P到两个定点F，F的距离之和等于常数（|PF1 + |PF2| = 2a > |FF，），则这个动点P的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距.

注:若|PF1 + |PF2| = |FF，|，则动点P的轨迹为线段FFF2；若|PF1| + |PF2| < |FF，|，则动点P的轨迹无图形.

2.椭圆的简单几何性质

注:（1）椭圆的第一定义:椭圆上一点M到两定点F1，F2的距离之和等于常数2a，即|MF1 + |MF2| = 2a（2a > |F，F，）；（2）椭圆的第二定义:椭圆上一点M与一定点F的距离之和到一定直线的距离（d）之比为常数e，即（0 < e < 1）.

【常用结论】

（1）焦点三角形的周长和面积（`（P（xon））`（`dot（0）`）是椭圆上一点）

①焦点三角形的定义:椭圆上一点和两个焦点构成的三角形称为焦点三角形.

②常用结论:|PF1 + |PF2| = 2a；4c² = |PF1|^2 + |PF2|2 - 2|PF1|PF2|cos∠F1PF2.

③最大角:当P为椭圆上一点，且为椭圆的短轴端点时， = ∠FPF，为最大角.

 = ④`S _________ （△PF1F _________ ）` = |PF1·|PF2|sin∠F1PF2 = 二

·b² = b²tan（-F）² = c·|y。|（当y。 = sin∠F1PF2

1 + cos∠F1PF2

±b，即P为椭圆的短轴端点时，`S _________ （△PF _________ 1`F _________ 2）有最大值为bc）⑤焦点三角形的周长为2（a + c）（2）点与椭圆的位置关系

①当`（`x^2/a^2`+`（x^2）/（b^2） < 1时，则点在椭圆内；.），点式（S）

②当`（`x^2/a^2`+`（x^2）/（b^2） = 1时，则点在椭圆上；

③当`（`x^2/a^2`+` > 1时，则点在椭圆外.

（3）直线与椭圆的位置关系

设直线方程y = kx + m，联立直线与椭圆 +  = 1（a > b > 0）的方程，消去y得关于x的一元二次方程ax² + bx + c = 0（a≠0）.

（4）弦长公式

设直线l:y = kx + b与椭圆 +  = 1（a > b > 0）相交于A，

B两点，A（`x _________ 1`，`y _________ 1`），B（`x _________ 2`，`y _________ 2`），则弦长|AB| = \sqrt（（x _________ 1-x2）² + （y _________ 1-y _________ 2）²） = \sqrt（（x _________ 1-x2）² + （kx）² - kx2）² == \sqrt（1 + k²|x1 - x2| = \sqrt（1 + k²）\sqrt（（x _________ 1+x2）² - 4`x _________ 1``x _________ 2`） =

1 + |`y _________ 1` - `y _________ 2`|

【其他结论】

（1）若点P（x0，yo）在椭圆 +  = 1上，则过P。的椭圆的切线方程为 +  = 1；

（2）若点P（x0，yo）在椭圆 +  = 1外，则过P。作椭圆的两条切线的切点为P，P，则切点弦PP的直线方程为 +  = 1；

（3）设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交于P，Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连接AP和AQ分别与焦点F的椭圆准线交于M，N两点，则MF⊥NF；

（4）若过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P，Q，A，A分别为椭圆长轴上的顶点，`A _________ 1`P和`A _________ 2`Q交于点M，`A _________ 2`P和`A _________ 1`Q交于点N，则MF⊥NF；

（5）若AB是椭圆`（`x^2/a^2）/a`+`（ = 1的不平行于对称轴的弦，M（xo，yo）为AB的中点，则km·kAB =- ，即kab =- ；

（6）以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离；

（7）以焦点半径PF1为直径的圆必与一长轴为直径的圆内切.

3.直线和椭圆相交常见问题

（1）椭圆离心率

设A，B为椭圆 + `（`y^2/b^2） = 1（a > b > 0）上两点，则将两点A，B带入，得到两个方程，两式相减后，可得含直线AB的斜率k及韦达定理（x + x2，y1 + y2）的式子，再由已知线段AB的中点坐标，可求出椭圆的离心率.

（2）三角形面积问题

①若过x轴上一定点H的直线l与椭圆 + `（`x^2/a^2`）=1交于A，B两点，则S△AOB=`1/2`|OH|·|`y _________ 1`-`y _________ 2`|；

②若过y轴上一定点H的直线l与椭圆 +  = 1交于A，B两点，则`S _________ （△AOB）` = |OH|·|`x _________ 1` - `x _________ 2`|.

③若弦任意、点任意，则`S _________ △` = 弦长 × 点线距.

（3）弦的中点问题

①中点弦所在直线方程问题；

②平行弦中点轨迹；

③共点弦中点轨迹；

④其他问题.

知识点四:圆锥曲线 - 双曲线

1.双曲线的定义

平面上一点到两定点的`F _________ 1`，F的距离之差的绝对值等于常数2a（0 < 2a < |F1F21）的点的轨迹叫做双曲线.定点F1，F2是焦点，|F1F2|是双曲线的焦距.

注:（1）当|MF1 - |MF2| = 2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的双曲线的一支；

（2）当|MF1| - |MF2| =- 2a时，曲线仅表示焦点F1所对应的双曲线的一支；

（3）当2a = |FF，|时，轨迹为分别以F1，F2为端点的两条射线；（4）当2a > |F1F2|时，动点轨迹不存在.

2.双曲线的简单几何性质

点M在右支左焦半径:

|MF1| = eyo + a右焦半径:

|MF2| = eyo - a

注:（1）双曲线的第一定义:双曲线上一点M到两定点F，F，的距离之差的绝对值等于常数2a，即|MF1 - |MF2| = 2a（2a > |F1F2|）；

（2）双曲线的第二定义:双曲线上一点M与一定点F的距离之和到一定直线的距离（d）之比为常数e，即 = e（e > 1）.

【常用结论】

（1）焦点到渐近线的距离为b.

（2）若双曲线`C _________ 1`与双曲线`C _________ 2`: -  = 1（a > 0，b > 0）有共同的渐近线，则设双曲线`C _________ 1`: -  = y（a > 0，b > 0，y≠0）.

（3）若双曲线的渐近线方程为y = ±x，则双曲线方程可设为 -  = y（m > 0，n > 0，y≠0）或n²x² - m²y² = y（m > 0，n > 0，γ≠0）.

（4）若双曲线`C _________ 1`与双曲线`C _________ 2`: - b^2`）=1（a>0，b>0）有共同的焦点，则设双曲线`C _________ 1`:`（x^2 - k）/（a^2 - k）`-`（a^2 + b）/（b^2 + k） = 1（a > 0，b > 0， -

b² < k < a²）.

（5）若双曲线过两个已知点，则设双曲线的标准方程为mx² +

ny² = 1（mn < 0）.

（6）若双曲线与椭圆 +  = 1（a > b > 0）有共同的焦点，则设双

曲线方程为 +  = 1（a > b > 0，b² < y < a²）.

3.等轴双曲线的定义

实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.

4.等轴双曲线的性质

（1）方程形式为x² - y² = y（y≠0）；

（2）渐近线方程为y = ±x，且它们互相垂直，并平分双曲线实轴和

虚轴所成的角；

（3）实轴长和虚轴长都等于2a，离心率e = \sqrt2.

知识点五:圆锥曲线 -- 抛物线

1.抛物线的定义

平面内任意一点与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.

2.抛物线的简单几何性质

y = y =- x = x =- 准线方程y≤0，y≥0，x≤0，x≥0，x，y取值y Ry R范围y E Ry R向下开口方向向上向右向左离心率e = 1焦半径LPF| = |PF⊥ = PF = 设P（x0，yo）yo| + x0 + yo + 是抛物线上一点过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A（`x _________ 1`，`y _________ 1`），B（`x _________ 2`，`y _________ 2`）两点称为焦点弦|AB|.

焦点弦过焦点垂直于对称轴的弦称为通径（通径长等通径于2p且为过焦点最短的弦）

【常用结论】

（1）四倍关系:抛物线y² = ax的焦点坐标为（，0），准线方程为x = .

（2）如图，线段AB是过抛物线y² = 2px（p > 0）焦点F的一条弦，

设A（`x _________ 1`，`y _________ 1`）B（`x _________ 2`，`y _________ 2`），则线段AB的中点M（`x _________ 0`，`y _________ 0`），相应的

准线为l.

①以AB为直径的圆必与准线l相切；

②利用焦点弦长与中点关系，可得AB| = `x _________ 1` + `x _________ 2` + p = 2（x0 + ）；

③若直线AB的倾斜角为α，则|AB| = ；

④A，B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即`x _________ 1`·`x _________ 2` = ，\@直关直（Ⅰ）`y _________ 1`·`y _________ 2` =- p²；

⑤ + 为定值；

\@（8）

⑥以AF或BF为直径的圆与y轴相切；

以纸，那关曲袋

⑦焦点F对A，B在准线上射影的张角为. _________ 问点点中（C）

\@个西普:\@\@\@\@

3.抛物线方程的求法

（1）定义法

根据抛物线的定义，确定p的值（系数p是指焦点到准线的距离），再结合焦点位置，求出抛物线方程.标准方程有四种形式，要注意选择.

（2）待定系数法

①根据抛物线焦点是在x轴上还是在y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于p的方程，解出p，从而写出抛物线的标准方程；

②当焦点位置不确定时，有两种方法解决.一种是分情况讨论，注意要对四种形式的标准方程进行讨论，对于焦点在x轴上的抛物线，若开口方向不确定需分为y² =- 2px（p > 0）和y² = 2px（p > 0）两种情况求解；另一种是设成y² = mx（m≠0）；若m > 0，开口向右；若m < 0，开口向左；若m有两个解，则抛物线的标准方程有两个.同理，焦点在y轴上的抛物线可以设成x² = my（m≠0）.

4.解决抛物线的弦长及弦中点问题的常用方法

（1）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦

点，若过抛物线的焦点，可直接使用焦点弦公式；若不过焦点，

则必须用一般弦长公式.

（2）涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系

数的关系，采用“设而不求”“整体代入”等解法.

（3）中点弦问题解题策略点

①点差法:将两个交点的坐标代入抛物线的方程，作差得k = ，求出斜率，再由点斜式求解.

`x _________ 1` - x2

②传统法:设直线方程，并与抛物线的方程联立，消去x或y得到关于y或x的一元二次方程，由根与系数的关系，得两根之和即为中点纵（或横）坐标的2倍，从而求斜率.

5.直线与提导放的位置关系问题常用处理方法

已知直线l:y = kr + ▲、抛鹅线C _________ y2 = 2pr（p≠0）、

（1）联立方程法

联立方程可得k² + `+ _________ （`kb）`-`p）`x+`b^2 = 0.设直线与抛物线交点坐

标为A（`x _________ 1`、`y _________ 1`）、B（`x _________ 3`·`1 _________ 2`）、则△ > 0，则由韦达定理、可得`x _________ 1` +

`x _________ 1` = ，`x _________ 1`x² = ，故`y _________ 1` + `y _________ 2` = `k _________ （`1 + x _________ 2）`+`2b.`2b.`

`1 _________ 1` = k²`x _________ 1``x _________ 1` + `kb（`x _________ 1`+`x _________ 2`）+`b^9`，相交弦AB的弦长|AB| =

\sqrt（1 ÷ k²）|`x _________ 1` - `x _________ 2`| = \sqrt（1 + k²）`\sqrt（`（x _________ 1 + x2）^2`-4`x _________ 1``x _________ 2`）或|AB| =

1 ÷ |`y _________ 1` - `y _________ 2`| = \sqrt（1 + ）`\sqrt（`（y _________ 1 + y _________ 2²） - 4`y _________ 1``y _________ 2`（联立直线

与抛物线方程整理后得方程含参数y可用此公式）

（2）点差法

设直线与抛物线的交点坐标为A（`x _________ 1`，`y _________ 1`），B（`x _________ 2`，`y _________ 2`），代入抛物线方程，得y _________ 1² = 2p`x _________ 1`，y _________ 2² = 2px _________ ，两式相减可得（`y _________ 1` - `y _________ 2`）（`y _________ 1` + `y _________ 2`） = 2p（`x _________ 1` - `x _________ 2`）.

①在涉及斜率问题时，`k _________ A _________ B` = ）；